Come raccordare due punti con una curva a piacere

Con questo articolo vorrei continuare a proporre qualche trucco per gli analisti finanziari come ho già fatto in questo articolo.

Lo scenario è il seguente:spesso capita che le ipotesi del management siano diquesto tipo:

Il parametro (KPI) xyz deve valere 100 il primo mese e deve scendere 60 in 12 mesi

Ovviamente nessuno dice con che velocità si vuole che il parametro scenda. Il povero analista finanziario che deve eseguire la simulazione crea una discesa lineare tra 100 e 60. Presenta i risulati e il management dice:

Si ok ma il parametro xyz scende troppo velocemente (lentamente), non potresti fare in modo che la discesa sia più lenta (veloce) i primi 4 mesi?

Tipicamente il povero analista tira la testa contro il muro.

Qui vorrei presentarvi una piccola procedura che permette di “collegare” tra loro i punti voluti (100 a mese 1 con 60 a mese 12) attraverso una curva che può essere regolata con un solo parametro per essere “più veloce” o “più lenta” o se preferite “più a pancia”.

Cominciamo però da un po’ di matematica elementare per capire dove andiamo a parare:

Consideriamo la seguente famiglia di funzioni:

$y= x^\alpha$

A seconda del parametro α avremo diverse curve ed in particolare possiamo avere:

Il parametro α quindi di permette di raggiungere sempre lo stesso punto di arrivo ma con velocità diverse.

Il tool che vi presento ora sfrutta queste funzioni. Tali funzioni, se notate si riducono al caso lineare nel momento in cui

$\alpha=1$

Potrete quindi montare questo tipo di funzione sui vostri fogli Excel e tenere α=1 pronti a modificarlo per andare incontro alle domande del vostro manager.

Vediamo ora come sfruttare questa funzione per renderla adeguata alle esigenze di un analista finanziario su Excel.

Lo faremo in due passi: prima faremo in modo che la funzione non si fermi ad 1 ma vada fino ad un valore arbitrario, “stireremo” le curve verso l’alto (o verso il basso).

Consideriamo quindi la funzione dove aggiungiamo un paramento moltiplicativo A:

$y=A x^\alpha$

Tale funzione raggiunge il punto (1 , A) per ogni valore di A.

Bene, ora “stiriamo la curva verso destra perché vogliamo farle raggiungere un punto arbitrario del piano.

Il punto che ci interessa è ora:

$(x_F,y_F)$

imponiamo il passaggio della funzione per tale punto e otteniamo facilmente:

$A=\frac{y_F}{x_F^\alpha}$

In questo esempio abbiamo scelto il punto (15, 6):

e abbiamo ottenuto i seguenti parametri:

a seconda di quale forma vorrete scegliere.

Bene, avete una curva con una certa “pancia” che parte dall’origine e che arriva nel punto voluto. Ora spostiamola e facciamola partire dal punto di partenza corretto: è sufficente una piccola traslazione di assi per posizionare la partenza nel punto voluto e a qusto punto basta imporre che la curva passi per il nuovo punto per ottenere la formula finale per A:

$A=\frac{(y_F-y_I)}{(x_F-x_I)^\alpha}$

A questo punto i punti intermedi saranno calcolati con la seguente formula:

$y=y_I+A(x-x_I)^\alpha$

Scegliamo come punto di partenza il punto (4,2) e teniamo lo stesso punto di arrivo precedente:

la formula completa è quindi:

$y=y_I+\frac{(y_F-y_I)}{(x_F-y_I)^\alpha}(x-x_I)^\alpha$

che, nel caso di α=1 si riduce alla equazione della retta per due punti ben nota dai tempi del liceo:

$\frac{y-y_I}{x-x_I}=\frac{y_F-y_I}{x_F-x_I}$

Ok, la matematica è molto divertente ma dove è il tool?

qui sotto trovate il tool che consente, impostando i punti di partenza e arrivo e il parametro α di identificare una curva specifica e “riempire” i punti intermedi:

in giallo le celle che potete collegare al vostro foglio Excel con i punti iniziale e finale e in nero invece i valori che potete riportare nel foglio Excel per i punti intermedi.

raccordo tra due punti